算子代數(shù)上的保持映射

保持問題是算子代數(shù)和算子理論交叉領(lǐng)域中的重要課題之一.本書共6章，第1章介紹書中涉及的算子代數(shù)和算子理論預(yù)備知識；第2章給出幾類保持相似性的線性映射的刻畫；第3章研究Banach 空間有界線性算子構(gòu)成的代數(shù)上保持相似性的非線性映射；第4章刻畫套代數(shù)上的Jordan 同態(tài)；第5章研究保持幾類正交性的線性映射；第6章給出保持算子某些乘積數(shù)值域的非線性映射的刻畫.
本書可作為相關(guān)研究人員的參考書，也可作為數(shù)學(xué)專業(yè)研究生和高年級本科生教材或教學(xué)參考書.

陳超群，常州工學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)系系主任，副教授,研究方向?yàn)樗阕哟鷶?shù)保持映射。從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融數(shù)學(xué)方向）專業(yè)教學(xué)。

本書介紹的算子代數(shù)中的保持問題是目前活躍的研究領(lǐng)域，許多問題在量子力學(xué)、微分幾何、微分方程、系統(tǒng)控制和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。例如, 在系統(tǒng)理論的矩陣模型中, 我們希望在不影響系統(tǒng)性質(zhì)的前提下通過映射把復(fù)雜系統(tǒng)變成簡單系統(tǒng), 這就需要研究保持可控制系統(tǒng)或可觀察系統(tǒng)的線性算子的形式。

算子代數(shù)上的保持問題是對保持某種函數(shù)、子集、關(guān)系或運(yùn)算等不變的映射進(jìn)行系統(tǒng)的研究,以此來揭示算子代數(shù)的固有性質(zhì)及與其上映射的聯(lián)系,進(jìn)而獲取算子代數(shù)的分類信息.保持問題是算子代數(shù)和算子理論等學(xué)科的交叉課題,是近幾十年來眾多學(xué)者研究的活躍課題之一.本書的目的是以作者在此方面的一些研究成果為主線,介紹國內(nèi)外算子代數(shù)上的相關(guān)保持問題研究的概況及進(jìn)展.
全書共分6章.第1章是預(yù)備知識,簡單介紹Banach空間、Hilbert空間、Banach代數(shù)、自反算子代數(shù)以及數(shù)值域與高維數(shù)值域的一些概念及結(jié)論.第2章主要討論保持相似性的線性映射.本章首先研究B (X)上保持對合相似性的線性映射,其中B (X)表示Banach空間上有界線性算子全體構(gòu)成的代數(shù).該結(jié)果可應(yīng)用于刻畫B(X)上的Jordan同構(gòu)和Lie同構(gòu).事實(shí)上,我們證明Jordan同構(gòu)和Lie同構(gòu)保持對合相似性,從而給出刻畫Jordan同構(gòu)和Lie同構(gòu)的新方法.本章還討論了-子空間格代數(shù)上保持相似性的線性映射.第3章主要研究保持相似性的非線性映射.本章首先研究矩陣代數(shù)以及B (X)上保持相似性的非可加映射,然后利用算子集合上雙邊保持正交性映射的結(jié)果,刻畫B (X)上與Jordan乘積相關(guān)的保持相似性的非線性映射.第4章主要研究Hilbert空間套代數(shù)上的Jordan同態(tài).本章證明Hilbert空間套代數(shù)間滿足某些條件的Jordan滿同態(tài)是同態(tài)或反同態(tài).本章還證明了具有無限重?cái)?shù)套代數(shù)間的Jordan同態(tài)是同態(tài)或反同態(tài).第5章主要介紹保持正交性的線性映射.本章首先在復(fù)賦范空間上研究了ρ± (x,y)的性質(zhì),然后在復(fù)賦范空間上刻畫了保ρ± 正交的映射和保ρ 正交的線性映射,最后定義了一種新的正交關(guān)系,并證明了在復(fù)的賦范空間上保持這種正交關(guān)系的線性映射也是一個(gè)等距的常數(shù)倍.第6章介紹算子代數(shù)上保持算子某些乘積高維數(shù)值域的非線性映射.本章首先刻畫了數(shù)乘算子、自伴算子、一秩投影算子等特殊算子的高維數(shù)值域,然后利用這些性質(zhì)分別研究保持高維數(shù)值域的可乘映射以及保持算子斜Lie積、Jordan積、Jordan *-積、Jordan η-*-積的高維數(shù)值域的非線性映射.
本書的寫作得到了常州工學(xué)院理學(xué)院和常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院的支持.本書所基于的研究工作得到了國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號：11801045)、江蘇高?！扒嗨{(lán)工程”資助以及常熟理工學(xué)院科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)的支持,在此一并表示衷心的感謝.
由于作者水平有限,不足之處在所難免,熱忱歡迎讀者批評指正.

陳超群 秦子杰

第1章　預(yù)備知識  001
1.1　Banach 空間  002
1.2　Hilbert 空間  005
1.3　Banach 代數(shù)  007
1.4　自反算子代數(shù)  008
1.5　保持問題  011
1.6　數(shù)值域與高維數(shù)值域  014

第2章　保持相似性的線性映射  021
2.1　B（X）上保持對合相似性的映射  022
2.2　JSL 代數(shù)上保持相似性的線性映射  041
2.3　注記  056

第3章　保持相似性的非線性映射  059
3.1　B（X）上保持相似性的非線性映射  060
3.1.1　無限維情形下定理的證明  066
3.1.2　有限維情形下定理的證明  072
3.2　B（X）上相似Jordan 可乘映射  075
3.3　注記  087

第4章　套代數(shù)上保Jordan 積的映射  091
4.1　套代數(shù)上的Jordan 同態(tài)  092
4.2　具有無限重?cái)?shù)的套代數(shù)上的Jordan 同態(tài)  098
4.3　注記  102

第5章　保持正交的映射  105
5.1　正交性的概念及性質(zhì)  106
5.2　賦范空間上保ρ* 正交的線性映射  110
5.3　保ρ 正交的線性映射  113
5.4　注記  121

第6章　保持高維數(shù)值域的映射  123
6.1　高維數(shù)值域的性質(zhì)  124
6.2　保持高維數(shù)值域的可乘映射  130
6.3　保持斜Lie 積的高維數(shù)值域的映射  143
6.4　保持Jordan 積的高維數(shù)值域的映射  151
6.5　保持Jordan *-積的高維數(shù)值域的映射  155
6.6　保持Jordan η-*-積的高維數(shù)值域的映射  160
6.7　注記  170

參考文獻(xiàn)  172